Question

【题目】如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，为三棱锥外一点，且为等边三角形．

证明：；

若平面平面，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的长．

Answer 1

【答案】证明见解析；.

【解析】

取的中点，连接，，证明平面，可得到结论；

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论.

解：取的中点，连接，，

因为是等边三角形，所以，

又因为，所以，

因为，所以平面，

因为平面，故．

因为平面平面，

平面平面，

所以平面，

且，，

故以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

取的中点，连接，，

同理可证平面，，，

设，

则，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

则，

，

令，则．

因为平面的一个法向量为，

所以，

所以，，

所以或．

因为为三棱锥外一点，

所以，

所以．