Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则下列命题中正确的个数为（ ）

①面积的最小值为4；

②以为直径的圆与x轴相切；

③记，，的斜率分别为，，，则；

④过焦点F作y轴的垂线与直线，分别交于点M，N，则以为直径的圆恒过定点.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

依次判断每个选项：的斜率为0时，，所以①错误，计算②正确，证明，所以③正确，根据等式令，得或3，所以④正确，得到答案.

当的斜率为0时，，所以①错误.

设的中点为E，作轴交x轴于点G，作准线交准线于点D，交x轴于点C，则，又，

所以，所以②正确.

直线的方程为，联立，得.设，，则，，所以，所以③正确.

直线，所以.同理可得.所以以为直径的圆的方程为，即.

令，得或3，所以④正确.

故选：.