【题目】已知函数
，
.
（1）若
，当
时，证明：
；
（2）若当
时，
，求
的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由
，可得
.令
，利用导数求出函数的单调性求出函数
的最小值为
，可得
，所以
在
上单调递增，据此即可证明结果.
（2）
.令
，
，可得
.令
，
，
，
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，对
进行分类讨论，根据函数的性质即可求出结果.
（1），
，
，.
令，
.
当
时，
，单调递减，
当
时，
，单调递增，
的最小值为，所以
，即，
所以在上单调递增，所以
，故
.
（2）.
令，，
.
令，，，，所以在上单调递增，
所以，即.
①当
，即
时，
，
在
上单调递增，所以
满足条件.
②当
，即
时，
，显然不满足条件.
③当
，即
时，若，
，
令
，，
，
，
故存在
，使
时，
，即
在
上单调递减，所以
，
即，
，故不满足条件.
综上，的取值范围是.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，
是正方体
的棱
的中点，下列命题中真命题是（ ）
A.过点有且只有一条直线与直线
都相交
B.过点有且只有一条直线与直线都垂直
C.过点有且只有一个平面与直线都相交
D.过点有且只有一个平面与直线都平行
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】2020年3月22日是第二十八届“世界水日”3月22-28日是第三十三届“中国水周”，主题为“坚持节水优先，建设幸福河湖”，效仿阶梯电价，某市准备实施阶梯水价.阶梯水价原则上以一套住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准，具体划分阶梯如下：
梯类 | 第一阶梯 | 第二阶梯 | 第三阶梯 |
月用水量范围（立方米） |
|
|
|
从本市居民用户中随机抽取10户，并统计了在同一个月份的月用水量，得到如图所示的茎叶图
（1）若从这10户中任意抽取三户，求取到第二阶梯用户数
的分布列和数学期望；
（2）用以上样本估计全市的居民用水情况，现从全市随机抽取10户，则抽到多少户为第二阶梯用户的可能性最大？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
，其中e为自然对数的底数．
（1）若函数
的图象在点
处的切线方程为
，求实数a的值；
（2）若函数有2个不同的零点
，
．
①求实数a的取值范围；
②求证：
．
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