Question

4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁₅＞0，S₁₆＜0，则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…，$\frac{{{S_{13}}}}{{{a_{13}}}}$中最大的项为（　　）

• A． $\frac{{S}_{7}}{{a}_{7}}$
• B． $\frac{{S}_{6}}{{a}_{6}}$
• C． $\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$
• D． $\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由S₁₅＞0，S₁₆＜0，可得$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a₈＞0，$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a₈+a₉）＜0，a₈＞0，a₉＜0，因此d＜0．利用单调性即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₁₅＞0，S₁₆＜0，∴$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a₈＞0，$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a₈+a₉）＜0，
∴a₈＞0，a₉＜0，因此d＜0．
若视为函数，则对称轴在S₈和S₉之间，
∵S₈＞S₉，∴S_n最大值是S₈，
故S_n最大值为S₈．
又d＜0，a_n递减，前8项中S_n递增，
故S_n最大且a_n取最小正值时$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$有最大值，
∴$\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$最大．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、二次函数的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．