Question

15．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，H分别是BC和PD上的中点．
（1）求证：EH∥平面PAB；
（2）当四面体ABDH的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）要证EH∥平面PAB，只要在平面PAB内找到一条直线和直线EH平行即可，即采用线面平行的判定定理证明．H、E是棱PD、BC的中点，所以常常用到平行四边形和中位线．这里可采用构造平行四边形求解．
（2）四面体ABDH可看作以H为顶点的三棱锥H-ABD，H到平面ABD的距离为三棱锥的高，该距离为AP长的一半．所以，可利用三棱锥H-ABD的体积构造关于AP的方程，求解即可．

解答 解法一：
（I）证明：取PA的中点M，连接HM，MB，…（1分）
∵H、M为PD、PA的中点，
∴MH∥AD，且MH=$\frac{1}{2}AD$
又∵底面ABCD是菱形，E为BC中点
∴BE∥AD，且BE=$\frac{1}{2}$AD
∴MH∥BE，且MH=BE
∴四边形DHMB为平行四边形     …（3分）
∴EH∥BM       …（4分）
又BM?平面PAB，EH?平面PAB
∴EH∥平面PAB   …（6分）
（2）解：四面体ABDH可看作三棱锥H-ABD
取AD中点G，连接HG，有PA∥HG 且HG=$\frac{1}{2}$PA
∵PA⊥面ABCD∴HG⊥面ABCD
∴HG为三棱锥H-ABD的高．
则V_H-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•HG$     …（8分）
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}{S}_{菱形ABCD}）•（\frac{1}{2}PA）$            
═$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}•2•2•sin60°）•（\frac{1}{2}PA）$
═$\frac{\sqrt{3}}{6}PA$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$       …（10分）
∴PA=2     …（12分）
解法二：
（1）证明：取取AD中点G，连接HG、GE
∵HG∥PA，PA?平面PAB，HG?平面PAB
∴HG∥平面PAB …（2分）
又菱形中，GE∥AB，AB?平面PAB，GE?平面PAB
∴GE∥平面PAB …（4分）
∵HG∩GE=G 且 HG、GE?平面HGE
∴平面PAB∥平面HGE …（5分）
又HE?平面HGE
∴EH∥平面PAB  …（6分）
（2）四面体ABDH可看作三棱锥H-ABD，且PA⊥面ABCD
∵H为PD的中点，由比例法可知
 ${V}_{H-ABD}=\frac{1}{2}{V}_{P-ABD}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{•S}_{△ABD}•PA$
═$\frac{1}{6}（\frac{1}{2}•2•2•sin120°）•PA$
═$\frac{\sqrt{3}}{6}PA$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ …（10分）
∴PA=2 …（12分）

点评 本题考查了直线与平面平行的证明方法，常用的方法是找线线平行，或者构造平面，找面面平行．考查了三棱锥体积的计算和方程思想，求体积常用方法：公式法、等体积法、比例法、割补法，本题采用公式法或者比例法．题型较常规，属于中档题．