Question

6．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，$AB=\sqrt{2}$，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求三棱锥A-BDF的体积；
（2）求CM与平面ABCD所成的角大小．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直转化证明线面垂直，由面ACEF⊥面ABCD，面ACEF∩面ABCD=AC，FA?面ACEF，FA⊥AC，可得FA⊥面ABCD，从而得到三棱锥ABD-F的高．
（2）线面角的大小三步骤：找（作），证，算；设BD∩AC=O，连接OF，O为AC的中点，M是线段EF的中点，
可得四边形CMFO为平行四边形，由CM∥OF，AF⊥面ABCD，则∠FOA为CM与平面ABCD所成的角．从而通过三角的判断来计算角的大小．

解答 解：（1）由题意：∵面ACEF⊥面ABCD，面ACEF∩面ABCD=AC，FA?面ACEF，FA⊥AC，∴FA⊥面ABCD，
在三棱锥ABD-F中：${V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ABD}}×|AF|=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1=\frac{1}{3}$，
∴${V_{A-BDF}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}$．
（2）设BD∩AC=O，连接OF，O为AC的中点，M是线段EF的中点，
∵MF∥OC，且MF=OC，
∴四边形CMFO为平行四边形，
∴CM∥OF，
又∵AF⊥面ABCD，则∠FOA为CM与平面ABCD所成的角．
在Rt△FOA中，AO=AF=1，故∠FOA=45°，
故CM与平面ABCD所成的角为45°．

点评 本题考查了面面垂直转化证明线面垂直和三棱锥的换底来求体积的思想和线面角的求法．属于基础题．