Question

如图，一个类似杨辉三角的数阵，则
（1）第9行的第2个数是

 

；
（2）若第n（n≥2）行的第2个数为291，则n=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：观察首尾两数都是1，3，5，7等为奇数，可知第n行的首尾两数，设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a_n}，则有a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，a₅-a₄=7，…，a_n-a_n-1=2n-3，相加得a_n．然后分别代入n=9求得（1），代入291求得（2）．

解答： 解：（1）观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n-1
设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a_n}，则有a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，a₅-a₄=7，…，a_n-a_n-1=2n-3，
相加得a_n-a₂=3+5+…+（2n-3）=

3+2n-3

2

×（n-2）=n（n-2）
a_n=3+n（n-2）=n²-2n+3．
n=9时，a₉=9²-2×9+3=66
（2）第n（n≥2）行的第2个数为291，n²-2n+3=291，
解得n=18．
故答案为：（1）66  （2）18

点评：本题主要考查了数列的应用，以及利用叠加法求数列的通项，同时考查了等差数列求和，属于中档题．