Question

【题目】如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

(1)先证，再证，由可得平面 ，从而推出平面 ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.

（1）证明：连接，，由图1知，四边形为菱形，且，

所以是正三角形，从而.

同理可证，，

所以平面.

又，所以平面，

因为平面，

所以平面平面.

易知，且为的中点，所以，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，，且四边形为正方形.设的中点为，

以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，

由得

取.

设直线与平面所成的角为，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.