【题目】已知定义域为的函数
是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断函数的单调性并证明;
(2)若关于的不等式
在
有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(1)由为奇函数可知,
,即可得解;
(2)由递增可知
在
上为减函数,对于任意实数
,不妨设
,化简
判断正负即可证得;
(3)不等式,等价于
,即
,原问题转化为
在
上有解,求解
的最大值即可.
试题解析
解:(1)由为奇函数可知,
,解得
.
(2)由递增可知
在
上为减函数,
证明:对于任意实数,不妨设
,
∵递增,且
,∴
,∴
,
∴,故
在
上为减函数.
(3)关于的不等式
,
等价于,即
,
因为,所以
,
原问题转化为在
上有解,
∵在区间
上为减函数,
∴,
的值域为
,
∴,解得
,
∴的取值范围是
.
点晴:本题属于对函数单调性应用的考察,若函数在区间上单调递增,则
时,有
,事实上,若
,则
,这与
矛盾,类似地,若
在区间上单调递减,则当
时有
;据此可以解不等式,由函数值的大小,根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,
(1)证明:PA∥平面EDB
(2)证明:平面BDE平面PCB
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 个图形包含
个小正方形.
(Ⅰ)求出 ;
(Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 与
的关系式,并根据你得到的关系式求
的表达式.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC三个顶点坐标为A(7,8),B(10,4),C(2,-4).
(1)求BC边上的中线所在直线的方程;
(2)求BC边上的高所在直线的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)根据中点坐标公式求出中点
的坐标,根据斜率公式可求得
的斜率,利用点斜式可求
边上的中线所在直线的方程;(2)先根据斜率公式求出
的斜率,从而求出
边上的高所在直线的斜率为
,利用点斜式可求
边上的高所在直线的方程.
试题解析:(1)由B(10,4),C(2,-4),得BC中点D的坐标为(6,0),
所以AD的斜率为k==8,
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y-0=8(x-6),
即8x-y-48=0.
(2)由B(10,4),C(2,-4),得BC所在直线的斜率为k==1,
所以BC边上的高所在直线的斜率为-1,
所以BC边上的高所在直线的方程为y-8=-(x-7),即x+y-15=0.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知直线l:x-2y+2m-2=0.
(1)求过点(2,3)且与直线l垂直的直线的方程;
(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4,求实数m的取值范围.
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【题目】已知数列 的前
项和为
,且满足
,求数列
的通项公式.勤于思考的小红设计了下面两种解题思路,请你选择其中一种并将其补充完整.
思路1:先设 的值为1,根据已知条件,计算出
,
,
.
猜想: .
然后用数学归纳法证明.证明过程如下:
①当 时, , 猜想成立
②假设 (
N*)时,猜想成立,即
.
那么,当 时,由已知
,得
.
又 ,两式相减并化简,得
(用含
的代数式表示).
所以,当 时,猜想也成立.
根据①和②,可知猜想对任何 N*都成立.
思路2:先设 的值为1,根据已知条件,计算出
.
由已知 ,写出
与
的关系式:
,
两式相减,得 与
的递推关系式:
.
整理: .
发现:数列 是首项为 , 公比为的等比数列.
得出:数列 的通项公式
, 进而得到
.
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【题目】某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴,贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种,对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元,从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计,选取贷款期限的频数如表:
贷款期限 | 6个月 | 12个月 | 18个月 | 24个月 | 36个月 |
频数 | 20 | 40 | 20 | 10 | 10 |
以上表中各种贷款期限的频数作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率.
(Ⅰ)某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款,计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率;
(Ⅱ)设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X元,写出X的分布列;该市政府要做预算,若预计2017年全市有600人申报此项贷款,则估计2017年该市共要补贴多少万元.
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【题目】如图四棱锥 中,四边形
为平行四边形,
为等边三角形,AABE是以
为直角的等腰直角三角形,且
.
(1)证明: 平面 平面BCE;
(2)求二面角 的余弦值.
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