Question

4．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）解不等式f（x+2）≥2．
（2）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集是空集，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意，|x-1|+|x-2|≥2，通过对x的范围分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式来解即可；
（2）利用分段函数y=|x-1|+|x-2|，根据绝对值的意义，可求得y_min，只需a≤y_min即可求得实数a的取值范围

解答 解：（1）f（x+2）≥2?|x+1|+|x|≥2，
当x≤-1时，不等式化为-2x-1≥2，解得：x≤-$\frac{3}{2}$；
当-1＜x≤0时，不等式化为x+1-x≥2，无解；
当x＞0时，不等式化为x+1+x≥2，解得：x≥$\frac{1}{2}$；
∴f（x+2）≥2的解集是{x|x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{1}{2}$}；
（2）由题意得：a≤f（x）_min，
由f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
当且仅当（x-1）（x-2）≤0即x∈[1，2]取得最小值，
∴a≤1．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围分类讨论，去掉绝对值符号是解决问题的关键，属于中档题．