Question

6．对实数a、b定义运算a⊕b=$\frac{a+b}{1+ab}$，设定义域为R的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2^x⊕2^x．
（1）讨论f（x）在π∈（0，1）上的单调性；
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据新定义，化简函数的解析式，从而判断函数的单调性．
（2）根据函数的奇偶性以及条件，求得函数的解析式．

解答 解：（1）定义域为R的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2^x⊕2^x =$\frac{2{•2}^{x}}{1{+2}^{2x}}$=$\frac{2}{\frac{1}{{2}^{x}}{+2}^{x}}$，
在（0，1）上，2^x∈（1，2），y=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2^x单调递增，故f（x）单调递减．
（2）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=$\frac{2}{\frac{1}{{2}^{-x}}{+2}^{-x}}$=$\frac{2}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$=$\frac{2{•2}^{x}}{{2}^{2x}+1}$=-f（x），
∴f（x）=-$\frac{2{•2}^{x}}{{2}^{2x}+1}$．
再根据奇函数满足f（0）=0，
可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{•2}^{x}}{{2}^{2x}+1}，x∈（0，1）}\\{0，x=0}\\{-\frac{2{•2}^{x}}{{2}^{2x}+1}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查新定义，函数的奇偶性的应用，判断函数的单调性，求函数的解析式，属于中档题．