Question

16．已知p：|x-a|＜3（a为常数）；q：代数式$\sqrt{x+1}+lg（6-x）$有意义．
（1）若a=1，求使“p∧q”为真命题的实数x的取值范围；
（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用p是q的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：p：|x-a|＜3等价于：-3＜x-a＜3即a-3＜x＜a+3；
q：代数式$\sqrt{x+1}+lg（6-x）$有意义等价于：
$\left\{{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{6-x＞0}\end{array}}\right.$，即-1≤x＜6 …（2分）
（1）a=1时，p即为-2＜x＜4
若“p∧q”为真命题，则$\left\{{\begin{array}{l}{-2＜x＜4}\\{-1≤x＜6}\end{array}}\right.$，得：-1≤x＜4
故a=1时，使“p∧q”为真命题的实数x的取值范围是[-1，4），…（5分）
（2）记集合A={x|a-3＜x＜a+3}，B={x|-1≤x＜6}
若p是q成立的充分不必要条件，则A?B，…（7分）
因此：$\left\{{\begin{array}{l}{a-3≥-1}\\{a+3≤6}\end{array}}\right.$，
∴2≤a≤3，故实数a的取值范围是[2，3]．…（10分）

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义建立不等式关系解决本题的关键．