Question

11．如图所示，四棱锥P-ABCD中平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形．点M是棱PC的中点
（1）记平面ADM与平面PBC的交线是l，试判断直线l与BC的位置关系，并加以证明．
（2）若$PA=AB=1，PB=\sqrt{2}$，求证PB⊥平面ADM，并求直线PC与平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AD∥平面PBC，利用线面平行的性质可得AD∥l，由平行公理即可得出l∥BC；
（2）建立空间坐标系，利用向量法证明PB⊥AD，PB⊥AM，故而PB⊥平面ADM，计算$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$的夹角即可得出直线PC与平面ADM所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
又AD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
又AD?平面ADM，平面ADM∩平面PBC=l，
∴AD∥l，
又AD∥BC，
∴l∥BC．
（2）证明：以A为原点建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），C（1，1，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{AD}$=0，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AM}$=0，
∴PB⊥AD，PB⊥AM，
又AD?平面ADM，AM?平面ADM，AD∩AM=A，
∴PB⊥平面ADM．
∴$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1）是平面ADM的一个法向量，
又$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直线PC与平面ADM所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．