Question

19．已知圆C：（x-a）²+y²=1，若直线l：y=x+a与圆C有公共点，且点A（1，0）在圆C内部，则实数a的取值范围是$（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

Answer 1

分析 圆心C（a，0）到直线l的距离d=$\frac{|a+a|}{\sqrt{2}}$=|$\sqrt{2}a$|≤1，且|AC|=|a-1|＜1，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵圆C：（x-a）²+y²=1，直线l：y=x+a与圆C有公共点，且点A（1，0）在圆C内部，
∴圆心C（a，0）到直线l的距离d=$\frac{|a+a|}{\sqrt{2}}$=|$\sqrt{2}a$|≤1，①
|AC|=|a-1|＜1，②
联立①②，得0＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故答案为：$（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．