Question

20．已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足$\overrightarrow{OA}$=（-3，m+1），$\overrightarrow{OB}$=（n，3），$\overrightarrow{OC}$=（7，4），且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，其中O为坐标原点．
（1）求实数m、n的值；
（2）若点A的纵坐标小于3，求cos∠AOC的值．

Answer 1

分析 （1）依题意，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3n+3m+3=0，可得n-m=1①，再由三点A、B、C在一条直线上，$\overrightarrow{AB}$=k$\overrightarrow{AC}$，即（n+3，3-（m+1））=k（10，3-m），整理可得：$\frac{n+3}{10}$=$\frac{2-m}{3-m}$②，
联立①②可求实数m、n的值；
（2）利用点A的纵坐标小于3，结合（1）的结果，可得m=1，n=2，于是$\overrightarrow{OA}$=（-3，2），又$\overrightarrow{OC}$=（7，4），利用平面向量的数量积可求cos∠AOC的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=（-3，m+1），$\overrightarrow{OB}$=（n，3），且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3n+3m+3=0，即n-m=1①，
又$\overrightarrow{OC}$=（7，4），∴$\overrightarrow{AC}$=（7-（-3），4-（m+1））=（10，3-m），
∵三点A、B、C在一条直线上，
∴$\overrightarrow{AB}$=k$\overrightarrow{AC}$，即（n+3，3-（m+1））=k（10，3-m），整理得：$\frac{n+3}{10}$=$\frac{2-m}{3-m}$②，
联立①②，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=8}\\{n=9}\end{array}\right.$．
（2）∵点A的纵坐标小于3，
∴m+1＜3，即m＜2，∴m=1，n=2，
∴$\overrightarrow{OA}$=（-3，2），又$\overrightarrow{OC}$=（7，4），
∴cos∠AOC=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{-3×7+2×4}{\sqrt{{（-3）}^{2}{+2}^{2}}•\sqrt{{7}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{-13}{\sqrt{13}•\sqrt{65}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量垂直、共线向量基本定理的应用，考查方程思想、化归思想与运算求解能力，属于中档题．