Question

15．已知a＞0，设p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，q：实数x满足（x-3）²＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-a）（x-3a）＜0
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…（2分）
由（x-3）²＜1，得2＜x＜4，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4．…（4分）
因为p∧q为真，所以p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3．…（6分）
（2）由x²-4ax+3a²＜0得（x-a）（x-3a）＜0，
所以，p为真时实数x的取值范围是a＜x＜3a．…（8分）
因为?p是?q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件
所以a≤2且且4≤3a                        …（10分）
所以实数a的取值范围为：$[{\frac{4}{3}，2}]$．                              …（12分）

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键．