Question

20．若函数f（x）=ae^x-x-2a有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{e}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）=ae^x-x-2a的导函数f′（x）=ae^x-1，
当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln$\frac{1}{a}$，函数在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）递减，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）递增，
f（x）的最小值为f（ln$\frac{1}{a}$）=1-ln$\frac{1}{a}$-2a=1+lna-2a＜0即可，

解答 解：函数f（x）=ae^x-x-2a的导函数f′（x）=ae^x-1，
当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln$\frac{1}{a}$，函数在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）递减，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）递增，
所以f（x）的最小值为f（ln$\frac{1}{a}$）=1-ln$\frac{1}{a}$-2a=1+lna-2a，
令g（a）=1+lna-2a，（a＞0），g′（a）=$\frac{1}{a}-2$，a$∈（0，\frac{1}{2}）$，g（a）递增，a$∈（\frac{1}{2}，+∞）$递减，
∴$；g（a）_{max}=g（\frac{1}{2}）=-ln2＜0$$g（a）_{max}=g（\frac{1}{2}）=-ln2＜0$
∴f（x）的最小值为f（ln$\frac{1}{a}$）＜0，函数f（x）=ae^x-x-2a有两个零点；
综上实数a的取值范围是：（0，+∞），
故选：D．

点评 本题考查了函数零点的个数与函数图象和横轴交点的转换，属于中档题．