Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x≤0}\\{-lnx，x＞0}\end{array}\right.$若关于x的方程f²（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，则m的取值范围是（　　）

• A． $m＜\frac{1}{4}$
• B． m≤-2
• C． $-2≤m＜\frac{1}{4}$
• D． m＞2

Answer 1

分析 结合方程f²（x）+f（x）+m=0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f（x）的图象即可获得解答．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x≤0}\\{-lnx，x＞0}\end{array}\right.$的图象如图，

若关于x的方程f²（x）+f（x）+m=0有三个不同实数根，令f（x）=t，
则方程t²+t+m=0的两根一个大于等于1而另一个小于1．
再令g（t）=t²+t+m，则g（1）≤0，即2+m≤0，得m≤-2．
故选：B．

点评 本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．