Question

3．已知△ABC的边长为2的等边三角形，动点P满足$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}{sin^2}θ•\overrightarrow{BC}+{cos^2}θ•\overrightarrow{BA}（θ∈R）$，则$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）•\overrightarrow{PA}$的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，0]．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形化简$\overrightarrow{BP}$，得出$\overrightarrow{OP}$=cos²θ•$\overrightarrow{OA}$，O为BC的中点，P在线段OA上，再设|$\overrightarrow{PO}$|=t，t∈[0，$\sqrt{3}$]，计算（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$的最大最小值即可．

解答 解：如图所示，
△ABC中，设BC的中点为O，则$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BO}$，
∵$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{2}$sin²θ•$\overrightarrow{BC}$+cos²θ•$\overrightarrow{BA}$=sin²θ•$\overrightarrow{BO}$+cos²θ•$\overrightarrow{BA}$
=（1-cos²θ）•$\overrightarrow{BO}$+cos²θ•$\overrightarrow{BA}$
=$\overrightarrow{BO}$+cos²θ•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BO}$），
即$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BO}$=cos²θ•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BO}$），
可得$\overrightarrow{OP}$=cos²θ•$\overrightarrow{OA}$，
又∵cos²θ∈[0，1]，∴P在线段OA上，
由于BC边上的中线OA=2×sin60°=$\sqrt{3}$，
因此（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PA}$，
设|$\overrightarrow{PO}$|=t，t∈[0，$\sqrt{3}$]，
可得（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$=-2t（$\sqrt{3}$-t）=2t²-2$\sqrt{3}$t=2（t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，
∴当t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$取得最小值为-$\frac{3}{2}$；
当t=0或$\sqrt{3}$时，（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）•$\overrightarrow{PA}$取得最大值为0；
∴$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）•\overrightarrow{PA}$的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，0]．
故答案为：[-$\frac{3}{2}$，0]．

点评 本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质和二次函数的性质等知识，属于综合性题目．