Question

13．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），b=-2f（-2），c=ln$\frac{1}{2}$f（-ln 2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． a＜c＜b
• C． c＞b＞a
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 构造函数g（x）=xf（x），根据条件讨论g（x）的奇偶性和单调性，利用g（x）的单调性比较大小．

解答 解：设g（x）=xf（x），则g’（x）=f（x）+xf‘（x），
∵f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{f（x）+xf′（x）}{x}$=$\frac{g′（x）}{x}$＞0，
∴当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）是R上的偶函数，
∵a=g（$\frac{1}{2}$），b=g（-2）=g（2），c=ln$\frac{1}{2}$f（-ln2）=-ln2f（-ln2）=g（-ln2）=g（ln2），且$\frac{1}{2}＜$ln2＜2，
∴g（$\frac{1}{2}$）＜g（ln2）＜g（2），即a＜c＜b
故选B．

点评 本题考查了函数单调性的判断和应用，属于中档题．