Question

1．已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，F是棱BC的中点，M是线段A₁F上的动点，则△MDD₁与△MCC₁的面积和的最小值是$\frac{\sqrt{65}}{10}$．

Answer 1

分析 由题意，就是求M到DD₁与CC₁距离和的最小值，由于A₁F在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF上的点到D，C距离和的最小值．

解答 解：由题意，就是求M到DD₁与CC₁距离和的最小值，由于A₁F在平面ABCD上的射影为AF，故问题转化为正方形ABCD中，AF上的点到D，C距离和的最小值，设出D关于AF的对称点D'，则DD′=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，cos∠CDD′=$\frac{1}{\sqrt{5}}$
∴CD′=$\sqrt{1+\frac{16}{5}-2×1×\frac{4\sqrt{5}}{5}×\frac{1}{\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{65}}{5}$，
∴△MDD₁与△MCC₁的面积和的最小值是$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{65}}{5}$=$\frac{\sqrt{65}}{10}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{65}}{10}$．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．