Question

14．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A并且点A也在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把A的坐标用p表示，代入双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，结合a²+b²=c²求得双曲线的离心率．

解答 解：如图，设A（x₀，y₀），则|AF|=2（x₀-$\frac{p}{2}$），
又|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，∴2（x₀-$\frac{p}{2}$）=x₀+$\frac{p}{2}$
解得x₀=$\frac{3p}{2}$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AF|=$\sqrt{3}$p，
∵点A在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，
∴$\sqrt{3}$p=$\frac{b}{a}•\frac{3}{2}p$，解得：${b}^{2}=\frac{4}{3}{a}^{2}$，
由a²+b²=c²，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{3}$，∴e=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．
故答案为$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．：

点评 本题考查了抛物线与双曲线的几何性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．