Question

19．利用数学归纳法证明：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 解：（1）当n=1时，左边=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，右边=$\frac{1}{2}$，命题成立．
（2）假设当n=k时命题成立，即1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$，
那么当n=k+1时，
左边=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$=$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$，
上式表明当n=k+1时命题也成立．
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立．

点评 本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．