Question

7．已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切，过点B（-4，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．
（1）求圆A的方程；
（2）当$|{MN}|=2\sqrt{11}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．

解答 解：（1）设圆A的半径为r，∵圆A与直线l₁：x+2y+7=0相切，
∴$r=\frac{{|{-1+4+7}|}}{{\sqrt{5}}}=2\sqrt{5}$，∴圆A的方程为（x+1）²+（y-2）²=20．
（2）当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x=-4，
此时$|{MN}|=2\sqrt{11}$，符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
设MN的中点为Q，则AQ⊥MN，
∴${|{AQ}|^2}+（\frac{1}{2}{|{MN}|^2}）={r^2}$，又$|{MN}|=2\sqrt{11}$，$r=2\sqrt{5}$，
∴$AQ=\sqrt{20-11}=3$，又$|{AQ}|=\frac{{|{-k-2+4k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，∴$\frac{{|{-k-2+4k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3⇒k=-\frac{5}{12}$，
则直线l的方程为：$y=-\frac{5}{12}（x+4）$，即5x+12y+20=0，
综上可知直线l的方程为：x=-4或5x+12y+20=0．

点评 本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．