Question

7．已知m、n、s、t∈R^*，m+n=3，$\frac{m}{s}+\frac{n}{t}=1$其中m、n是常数且m＜n，若s+t的最小值 是$3+2\sqrt{2}$，满足条件的点（m，n）是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（　　）

• A． x-2y+3=0
• B． 4x-2y-3=0
• C． x+y-3=0
• D． 2x+y-4=0

Answer 1

分析 由已知得（s+t）（$\frac{m}{s}+\frac{n}{t}$）的最小值 是$3+2\sqrt{2}$，即（s+t）（$\frac{m}{s}+\frac{n}{t}$）=m+n+$\frac{mt}{s}+\frac{ns}{t}$$≥m+n+2\sqrt{mn}$，满足$\frac{mt}{s}=\frac{ns}{t}\\;即m=n$时取最小值，得m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入4x²+y²=16，得$\left\{\begin{array}{l}{4{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=16}\\{4{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$，两式相减得2（x₁-x₂）+（y₁-y₂）=0，求得k 即可

解答 解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=3，$\frac{m}{s}+\frac{n}{t}=1$，s+t的最小值 是$3+2\sqrt{2}$，
∴（s+t）（$\frac{m}{s}+\frac{n}{t}$）的最小值 是$3+2\sqrt{2}$，
∴（s+t）（$\frac{m}{s}+\frac{n}{t}$）=m+n+$\frac{mt}{s}+\frac{ns}{t}$$≥m+n+2\sqrt{mn}$，满足$\frac{mt}{s}=\frac{ns}{t}，\\;即m=n$时取最小值，
此时最小值为m+n+2$\sqrt{mn}$=3+2$\sqrt{2}$，得：mn=2，又：m+n=3，所以，m=1，n=2．
设以（1，2）为中点的弦交椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入4x²+y²=16，
得$\left\{\begin{array}{l}{4{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=16}\\{4{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$
两式相减得2（x₁-x₂）+（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-2$．∴此弦所在的直线方程为y-2=-2（x-1），
即2x+y-4=0．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用，属于基础题．