Question

19．在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8-m}$=1的焦点在x轴上：命题q：直线l：x-y+m=0与圆O：x²+y²=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p、p为真时m的取值范围，再根据命题p、q中有且只有一个为真命题，分p真q假和p假q真时两种情况，求出实数m的取值范围．

解答 解：命题p：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8-m}$=1的焦点在x轴上：
p为真时：m＞8-m＞0，解得4＜m＜8；
命题q：直线l：x-y+m=0与圆O：x²+y²=9有公共点；
q为真时：圆心O到直线l的距离：$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}≤3$，
解得$-3\sqrt{2}≤m≤3\sqrt{2}$；
因为命题p、q中有且只有一个为真命题，
若p真q假，则：$\left\{\begin{array}{l}4＜m＜8\\ m＜-3\sqrt{2}或m＞3\sqrt{2}\end{array}\right.$，
解得：$3\sqrt{2}＜m＜8$；
若p假q真，则：$\left\{\begin{array}{l}m≤4或m≥8\\-3\sqrt{2}≤m≤3\sqrt{2}\end{array}\right.$，
解得：$-3\sqrt{2}≤m≤4$；
综上，实数m的取值范围是$3\sqrt{2}＜m＜8$或$-3\sqrt{2}≤m≤4$．

点评 本题考查了复合命题真假的判断问题，也考查了直线与圆锥曲线的位置关系与应用问题，是综合性题目．