Question

18．如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，若∠APB=150°，则tan∠PBA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意设∠PBA=α，在Rt△PBC中求出PB，在△PBA中，由∠APB=150°和内角和定理求出∠PAB，由正弦定理列出方程，由两角差的正弦函数化简后，由商的关系求出tan∠PBA的值．

解答 解：由题意知：
∠ABC=∠BPC=90°，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2
设∠PBA=α，在Rt△PBC中，
PB=BCcos（90°-α）=2sinα，
在△PBA中，∠APB=150°，则∠PAB=30°-α，
由正弦定理得，$\frac{AB}{sin∠APB}=\frac{PB}{sin∠PAB}$，
则$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2sinα}{sin（30°-α）}$，即$\frac{sinα}{sin（30°-α）}=2\sqrt{3}$，
sinα=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα），
化简得4sinα=$\sqrt{3}$cosα，则tanα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以tan∠PBA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理，两角差的正弦函数，以及商的关系的应用，考查分析问题、解决问题的能力．