Question

5．已知函数f（x）=x³+m．
（1）试用定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若关于x的不等式f（x）≥x³+3x²-3x在区间[1，2]上有解，求m的取值范围．参考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）问题转化为不等式m≥3x²-3x在区间[1，2]上有解，结合二次函数的性质求出m的范围即可．

解答 （1）证明：任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）={x_2}^3-{x_1}^3=（{x_2}-{x_1}）（{x^2}_2+{x_2}{x_1}+{x^2}_1）$
因为0＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，${x^2}_2+{x_2}{x_1}+{x^2}_1＞0$x∈
即f（x₂）-f（x₁）＞0
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
（2）解：不等式f（x）≥x³+3x²-3x在区间[1，2]上有解，
即不等式m≥3x²-3x在区间[1，2]上有解，
即m不小于3x²-3x在区间[1，2]上的最小值
因为[1，2]时，$3{x^2}-3x=3{（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{3}{4}∈[{0，6}]$，
所以m的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．