Question

15．已知函数$f（x）=2x+\frac{1}{x}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）由$f（{-x}）=-2x-\frac{1}{s}=-f（x）$，可得f（x）是奇函数；
（2）f（x）在[2，+∞）单调递增，证法一：作差，利用单调性的定义可证明；证法二：求导，可证明．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且$f（{-x}）=-2x-\frac{1}{s}=-f（x）$，
∴f（x）是奇函数，…（4分）
（2）f（x）在[2，+∞）单调递增，证明如下：
证法一：
设2≤x₁＜x₂，
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=2（{{x_1}-{x_2}}）+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=2（{{x_1}-{x_2}}）+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{{x_2}-{x_1}}）（{\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}-2}）$，
∵x₂＞x₁，且x₁x₂＞4，
∴$\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}-2＜0，{x_2}-{x_1}＞0$
∴f（x₁）＜f（x₂），
即证f（x）在（2，+∞）上单调递增．…（12分）
证法二：
∵$f′（x）=2-\frac{1}{{x}^{2}}$，
当x∈[2，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，
即f（x）在（2，+∞）上单调递增．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．