Question

6．已知函数$f（x）=2sinxcosx+\sqrt{3}cos2x+2$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）当x∈[$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$上，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）$f（x）=2sinxcosx+\sqrt{3}cos2x+2=sin2x+\sqrt{3}cos2x+2=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+2$
设$z=2x+\frac{π}{3}$，则y=sinz+2的单调递增区间为$[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]（{k∈z}）$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，（{k∈z}）$，
解得$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ，（{k∈z}）$
所以，函数f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]（{k∈Z}）$；
（2）由（1）$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+2$，
∵$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$，
∴$2x+\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，π}]$；
∴$sin（{2x+\frac{π}{3}}）∈[{2-\sqrt{3}，4}]$，
∴$f{（x）_{max}}=4，f{（x）_{min}}=2-\sqrt{3}$
故得函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$上的最小值为$2-\sqrt{3}$，最大值为4．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．