Question

14．已知抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A（m，2）（m＞1）是抛物线上一点，且满足|AF|=$\frac{5}{2}$．
（1）求抛物线的方程；（2）已知M（-2，0），N（2，0），过N的直线与抛物线交于C，D两点，若S_△MCD=16，求直线CD的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，m+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，4=2pm，可得p=1，m=2，即可得出抛物线的方程；
（2）设直线CD的方程为x=my+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由题意，m+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，4=2pm，可得p=1，m=2，
∴抛物线的方程为y²=2x；
（2）设直线CD的方程为x=my+2，代入y²=2x，可得y²-2my-4=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
∴S_△MCD=$\frac{1}{2}×4×$|y₁-y₂|=2$\sqrt{4{m}^{2}+16}$=16，
∴m=±2$\sqrt{3}$，
∴直线CD的方程为x=$±2\sqrt{3}$y+2．

点评 本题考查了抛物线的方程与性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．