Question

4．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$\frac{acosC+ccosA}{b}$=2cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a²=b²+$\frac{1}{4}$c²，求$\frac{sinA}{sinC}$．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得sinB=2sinBcosB，结合范围B∈（0，π），可求cosB=$\frac{1}{2}$，进而可求B的值．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac，结合已知可求a²+c²-ac=a²-$\frac{1}{4}$c²，整理可得：$\frac{a}{c}$=$\frac{5}{4}$，利用由正弦定理即可得解．

解答 解：（1）∵$\frac{acosC+ccosA}{b}$=2cosB，
∴acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sinB=2sinBcosB，
∵B∈（0，π），sinB≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac，
又∵a²=b²+$\frac{1}{4}$c²，可得：b²=a²-$\frac{1}{4}$c²，
∴a²+c²-ac=a²-$\frac{1}{4}$c²，整理可得：$\frac{a}{c}$=$\frac{5}{4}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．