Question

18．如图所示，已知点P为正方形ABCD内一点，且AP=1，BP=2，CP=3，则该正方形ABCD的面积为5+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意作BE垂直BP，使BE=BP（点E和P在BC两侧），连接PE，CE，作CH垂直BE的延长线于H，则∠CEH=180°-∠BEC=45°．进一步由勾股定理求得答案即可．

解答 解：作BE垂直BP，使BE=BP（点E和P在BC两侧），连接PE，CE．
则：∠BPE=∠BEP=45°；PE²=BE²+BP²=4+4=8；
∵∠EBP=∠CBA=90°．
∴∠EBC=∠PBA；又BE=BP，BC=BA．
∴△EBC≌△PBA（SAS），CE=AP=1．
∵PE²+CE²=8+1=9； PC²=3²=9．
∴PE²+CE²=PC²，则∠PEC=90°，∠BEC=∠BEP+∠PEC=135°；
作CH垂直BE的延长线于H，则∠CEH=180°-∠BEC=45°．
∴CH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BH=BE+EH=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故S正方形ABCD=BC²=BH²+CH²=（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=5+2$\sqrt{2}$，
故答案为5+2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查正方形的性质，勾股定理的运用，属于中档题．