Question

9．知函数f（x）=ax²-2x+lnx（a≠0，a∈R）．
（1）判断函数 f （x）的单调性；
（2）若函数 f （x）有两个极值点x₁，x₂，求证：f（x₁）+f（x₂）＜-3．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出f（x₁）+f（x₂）=-（lna+$\frac{1}{a}$）-（1+ln2），令h（a）=-（lna+$\frac{1}{a}$）-（1+ln2），（0＜a＜$\frac{1}{2}$），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
令g（x）=2ax²-2x+1，△=4-8a，
①a≥$\frac{1}{2}$时，△=4-8a≤0，f′（x）≥0恒成立，
则f（x）在（0，+∞）递增；
②a＜$\frac{1}{2}$时，△=4-8a＞0，
由g（x）=0，解得：x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2a}$，
（i）0＜a＜$\frac{1}{2}$时，0＜x₁＜x₂，
此时f（x）在区间（x₁，x₂）递减，在（0，x₁），（x₂，+∞）递增；
（ii）a＜0时，x₂＜0＜x₁，
此时f（x）在区间（x₁，+∞）递减，在（0，x₁）递增，
∴a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，+∞）递增，
0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在区间（x₁，x₂）递减，在（0，x₁），（x₂，+∞）递增，
a＜0时，f（x）在区间（x₁，+∞）递减，在（0，x₁）递增；
（2）证明：由（1）得0＜a＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有2个极值点x₁，x₂，
且x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，x₁x₂=$\frac{1}{2a}$，
∴f（x₁）+f（x₂）=-（lna+$\frac{1}{a}$）-（1+ln2），
令h（a）=-（lna+$\frac{1}{a}$）-（1+ln2），（0＜a＜$\frac{1}{2}$），
则h′（a）=-（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=$\frac{1-a}{{a}^{2}}$＞0，
∴h（a）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，
则h（a）＜h（$\frac{1}{2}$）=-（ln$\frac{1}{2}$+2）-（1+ln2）=-3，
即f（x₁）+f（x₂）＜-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道中档题．