Question

20．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，设三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径为a，则$\frac{a}{{|{AB}|}}$=$\frac{{\sqrt{19}}}{3}$．

Answer 1

分析 过E作EF∥AA₁交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为平面EBD与平面AB-CD所成锐二面角的平面角，设AB=3，求出A₁E=1，可得三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径，即可得出结论．

解答 解：过E作EF∥AA₁交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为平面EBD与平面AB-CD所成锐二面角的平面角，∵$tan∠EGF=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{EF}{FG}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
设AB=3，则EF=3，∴$FG=\sqrt{2}$，则BF=2=B₁E，
∴A₁E=1，则三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径$a=\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}$，
∴$\frac{a}{AB}=\frac{{\sqrt{19}}}{3}$．
故答案为$\frac{{\sqrt{19}}}{3}$．

点评 本题考查三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题．