Question

10．E、F分别是边长为1的正方形ABCD两对边AD，BC的中点，沿EF把CDEF折起，折成一个二面角D-EF-B是45°的几何图形，下面命题中：
①∠AED=45°；
②异面直线EF与AC所成角的正切值是$\frac{{\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{2}$；
③三棱锥C-ABF的体积等于$\frac{{\sqrt{2}}}{48}$．
正确命题的序号有：①②③．

Answer 1

分析 由EF⊥平面ADE得出EF⊥平面ADE得出AB⊥平面ADE，故而AB⊥BC，结合三棱锥的等体积法，从而判定．

解答 解：如图所示，由已知得ED⊥EF，AE⊥EF，∴∠AED就是二面角D-EF-B的平面角，∴①∠AED=45°正确；
∵EF∥AB，∴异面直线EF与AC所成角等于∠CAB，在△CFB中，由余弦定理可得BC=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$；
在直角三角形ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，故②正确；
三棱锥C-ABF的体积等于三棱锥A-CBF的体积等于$\frac{1}{3}×{s}_{△BCF}×AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×sin4{5}^{0}$=$\frac{\sqrt{2}}{48}$
故答案为：①②③

点评 本题考查了线面垂直的判定，异面直线夹角，棱锥的体积计算，属于中档题．