Question

20．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，（{0≤x＜1}）\\{2^x}-\frac{1}{2}，（{x≥1}）\end{array}\right.$，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． $（{\frac{3}{4}，2}]$
• C． $[{\frac{3}{4}，2}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，2}）$

Answer 1

分析 作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，（{0≤x＜1}）\\{2^x}-\frac{1}{2}，（{x≥1}）\end{array}\right.$的图象，从而利用数形结合知2-$\frac{1}{2}$≤b+1＜2，可得b的范围，由f（a）=1+b，求得范围，由不等式的性质从而解得所求范围．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，（{0≤x＜1}）\\{2^x}-\frac{1}{2}，（{x≥1}）\end{array}\right.$的图象如下，
结合图象可知，
2-$\frac{1}{2}$≤b+1＜2，
解得$\frac{1}{2}$≤b＜1，
f（a）=f（b）=1+b，
由$\frac{3}{2}$≤f（a）＜2，
可得$\frac{3}{4}$≤b•f（a）＜2，
故选：C．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及方程的根与函数的图象的交点的关系应用，属于中档题．