Question

12．已知函数y=f（x）（x∈I），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x），x∈I．即y=h（x），x∈I满足对任意x∈I，两点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是$g（x）=\sqrt{4-{x^2}}$关于f（x）=3x+m的对称函数，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数m的取值范围是（2$\sqrt{10}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，数形结合得结论．

解答 解：根据“对称函数”的定义可知，$\frac{h（x）+\sqrt{4-{x}^{2}}}{2}$=3x+m，
即h（x）=6x+2m-$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
若h（x）＞g（x）恒成立，
则等价为6x+2m-$\sqrt{4-{x}^{2}}$＞$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
即3x+m＞$\sqrt{4-{x}^{2}}$恒成立，
设y₁=3x+m，y₂=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
作出两个函数对应的图象如图，
当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{10}}$=2，
即|m|=2$\sqrt{10}$，
∴m=2$\sqrt{10}$或-2$\sqrt{10}$，（舍去），
即要使h（x）＞g（x）恒成立，
则m＞2$\sqrt{10}$，
即实数m的取值范围是（2$\sqrt{10}$，+∞），
故答案为：（2$\sqrt{10}$，+∞）．

点评 本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键，属中档题．