Question

7．已知圆C的圆心C在x轴上，且圆C与直线$x+\sqrt{3}y+n=0$相切于点$（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求n的值及圆C的方程；
（2）若圆M：${x^2}+{（{y-\sqrt{15}}）^2}={r^2}（{r＞0}）$与圆C相切，求直线$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$截圆M所得的弦长．

Answer 1

分析 （1）利用点在直线上，求解n，求出垂线方程，求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
（2）利用两个圆外切，求出半径，利用半径半弦长，圆心到直线的距离，满足勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵由$\frac{3}{2}+\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+n=0$，∴n=-3，
过点$（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$与直线$x+\sqrt{3}y+n=0$垂直的直线方程为$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
当y=o，x=1时，得C（1，0），圆C半径为$\sqrt{{{（{\frac{3}{2}-1}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}}=1$，
∴圆C的方程为（x-1）²+y²=1．…（6分）
（2）∵$C（{1，0}），M（{0，\sqrt{15}}）$，
∴当两圆外切时，|CM|=4=1+r，∴r=3，当两圆内切时，|CM|=r-1，∴r=5．
∵M到直线$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$的距离为$d=\sqrt{6}$，
∴当r=3时，弦长为$2\sqrt{9-6}=2\sqrt{3}$，
当r=5时，弦长为$2\sqrt{25-6}=2\sqrt{19}$．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的方程的综合应用，两个圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．