Question

19．某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据电影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出；当票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，需要给电影院一个合适的票价，基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本是5750元，票房收入必须高于成本．用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该电影放映一场的纯收入（除去成本后的收入）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）票价定为多少时，电影放映一场的纯收入最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设每张票价为x元，通过当x≤10时，求出y=1000x-5750，利用1000x-5750＞0得x≥6，当x＞10时，求出y=-30x²+1300x-5750，得到10＜x≤38，写出函数的解析式．
 （Ⅱ）利用分段函数的解析式分别求解函数的最值．

解答 （Ⅰ）解：设每张票价为x元
当x≤10时，y=1000x-5750（2分）
由1000x-5750＞0得：x＞5.75，又x是整数，∴x≥6（3分）
当x＞10时，y=[1000-30（x-10）]-5750=-30x²+1300x-5750      （5分）
由-30x²+1300x-5750＞0得：5＜x＜38$\frac{1}{3}$，∴10＜x≤38（6分）
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{1000x-5750，6≤x≤10，x∈N}\\{-{x}^{2}+1300x-5750，10＜x≤38，x∈N}\end{array}\right.$      （8分）
 （Ⅱ）解：若x≤10，y=1000x-5750是增函数，∴x=10时，y有最大值4250（9分）
若x＞10，y=-30x²+1300x-5750，x=$-\frac{1300}{2×（-30）}$=$21\frac{2}{3}$时，y最大（10分）
又x是整数，当x=21时，y=8320，当x=22时，y=8330
∴每张票价定为22元时，放映一场的纯收入最大．（12分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．