Question

11．函数f（x）=axⁿ（2-x）²在区间[0，2]上的图象如图所示，则n的值可能是（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先求导，再结合图象和导数和函数的关系，得到f（x）在x=$\frac{2n}{n+2}$处有极大值，也是最大值，即可得到1＜$\frac{2n}{n+2}$＜1.5，判断即可．

解答 解：∵f（x）=axⁿ（2-x）²，
∴f′（x）=anx^n-1×（2-x）²+axⁿ×2（2-x）×（-1）=ax^n-1（x-2）（x-$\frac{2n}{n+2}$），
∵$\frac{n}{n+2}$=1-$\frac{2}{n+2}$＜1，
∴x-$\frac{2n}{n+2}$＜2，
当0＜x＜$\frac{2n}{n+2}$时 f（x）'＞0，
当$\frac{2n}{n+2}$＜x＜2时 f（x）'＜0，
∴f（x）在x=$\frac{2n}{n+2}$处有极大值，也是最大值，
∵在图中最大值在1到1.5之间，
∴1＜$\frac{2n}{n+2}$＜1.5，
解得2＜n＜6，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系，属于中档题．