Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且经过点（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），F₁，F₂是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P在椭圆上运动，求|PF₁|•|PF₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，再由基本不等式求得|PF₁|•|PF₂|的最大值．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$．
∴椭圆C的方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）∵P在椭圆上运动，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴|PF₁|•|PF₂|≤$（\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}）^{2}=（\frac{4}{2}）^{2}=4$，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时等号成立，
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值为4．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的定义及基本不等式的应用，属中档题．