Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，点$（{\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若点P与点N关于x轴对称，判断直线PM是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心率为$\frac{1}{2}$，点$（{\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在椭圆C上，列出方程解得a²=4，b²=3．然后求解椭圆C的方程即可．
（Ⅱ）设直线l_MN：x=ty+1（t≠0），联立方程直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及点N关于x轴的对称点P（x₂，-y₂），求出${k_{PM}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，得到直线PM的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（{x-{x_1}}）$，利用对称性可观察若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y=0，求出x，然后判断直线PM恒过定点．

解答 解：（Ⅰ）由题知$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{4}$，得${b^2}=\frac{3}{4}{a^2}$
∵点$（{\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，∴$\frac{3}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$．
解得a²=4，b²=3．∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）设直线l_MN：x=ty+1（t≠0），联立方程得$\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;x=ty+1\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.⇒（{3{t^2}+4}）{y^2}+6ty-9=0$∴${y_1}+{y_2}=-\frac{6t}{{3{t^2}+4}}\;\;\;\;①$${y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{t^2}+4}}\;\;\;\;②$
且△=144t²+144＞0∵N（x₂，y₂）∴点N关于x轴的对称点P（x₂，-y₂）
∴${k_{PM}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$
故直线PM的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（{x-{x_1}}）$，
由对称性可知若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y=0得$x=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{（{t{y_1}+1}）{y_2}+（{t{y_2}+1}）{y_1}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{2t{y_1}{y_2}+{y_1}+{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，
将①②式代入上式，
得x=$\frac{2t（-\frac{9}{3{t}^{2}+4}）-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}{-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}$=4，故直线PM恒过定点（4，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题的解决方法，考查转化思想以及计算能力．