Question

10．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，曲线C的方程ρ=4cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标系方程；
（2）若点P（3，1），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²+2（cosα-sinα）t-2=0，利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．

解答 解：（1）曲线C的方程ρ=4cosθ，化为直角坐标方程：（x-2）²+y²=4；
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²+2（cosα-sinα）t-2=0，
可设t₁，t₂是上述方程的两根，
所以t₁+t₂=-2（cosα-sinα），t₁t₂=-2
又直线过点（3，1），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{12+4sin2α}≥2\sqrt{2}$，
所以PA|+|PB|的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．