Question

20．如图，直角三角形ABC（AB＞AC）的斜边BC的垂直平分线m交直角边AB于点P，两条直角边的长度之和为6，设AB=x，求△ACP面积的最大值和相应x的值．

Answer 1

分析 求出PA，AC，可得△ACP面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：AB=x，则AC=6-x，而PB=PC=AB-PA=x-PA，
又PA²+AC²=PA²+（6-x）²=PC²，
联立解得PA=$\frac{6x-18}{x}$，
从而三角形PAC面积S=$\frac{1}{2}$PA•AC=$\frac{（3x-9）（6-x）}{x}$
=27-3（x+$\frac{18}{x}$）≤27-18$\sqrt{2}$
当且仅当最大值点x=3$\sqrt{2}$，从而面积的最大值为27-18$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．