Question

15．已知点P是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F₁，F₂是双曲线的左、右焦点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，若PF₂的中点N在第一象限，且N在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意可设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由双曲线的定义可得n-m=2a，再由向量垂直的条件，结合勾股定理和直角三角形的正切函数定义，可得m，n的方程，解方程可得m，n，再代入勾股定理，可得a，b，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由双曲线的定义可得n-m=2a，①
设F₁（-c，0），F₂（c，0），
由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，可得三角形F₁PF₂是以P为直角顶点的三角形，
即有m²+n²=4c²，②
直线ON的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
由题意可得在直角三角形ONF₂中，|ON|=$\frac{1}{2}$m，|NF₂|=$\frac{1}{2}$n，
即有$\frac{b}{a}$=$\frac{n}{m}$，③
由①③可得m=$\frac{2{a}^{2}}{b-a}$，n=$\frac{2ab}{b-a}$，
代入②可得$\frac{4{a}^{4}}{（b-a）^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{（b-a）^{2}}$=4c²，
由c²=a²+b²，可化为a²=（b-a）²，
可得b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义和性质的运用，注意运用中位线定理和勾股定理，以及定义法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．