Question

11．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为矩形，AB=3，AD=1，AA₁=2，且∠BAA₁=∠DAA₁=60°．则异面直线AC与BD₁所成角的余弦值为$\frac{7\sqrt{10}}{40}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，求出$\overrightarrow{AC}$=（3，1，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-3，2，$\sqrt{3}$），即可求出异面直线AC与BD₁所成角的余弦值．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（3，1，0），B（3，0，0），D₁（0，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（3，1，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-3，2，$\sqrt{3}$），
∴异面直线AC与BD₁所成角的余弦值为|$\frac{-9+2}{\sqrt{10}•\sqrt{16}}$|=$\frac{7\sqrt{10}}{40}$，
故答案为：$\frac{7\sqrt{10}}{40}$．

点评 本题考查异面直线AC与BD₁所成角的余弦值，考查向量方法的运用，属于中档题．