Question

17．设命题$p：?n∈{N^*}，{（{-1}）^n}•（{2a+1}）＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$，命题q：当$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$时，不等式|x²-5|＜4恒成立．
（1）当$a=\frac{1}{2}$时，分别判断命题p和q的真假；
（2）如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当$a=\frac{1}{2}$时，?n∈N⁺，（-1）ⁿ•2＜2+$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，当n为偶数时，2＜2-$\frac{1}{n}$不成立．
当$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$时，⇒2＜x＜3⇒-1＜x²-5＜4⇒不等式|x²-5|＜4成立．
（2）命题p为真命题时：当n为偶数时，2a+1＜2-$\frac{1}{n}$恒成立⇒2a+1＜（2-$\frac{1}{n}$）_min，⇒a＜$\frac{1}{4}$，
当n为奇数时，-（2a+1）＜2+$\frac{1}{n}$恒成立⇒-（2a+1）＜（2+$\frac{1}{n}$）_min，⇒-（2a+1）≤2⇒a≥-$\frac{3}{2}$．
命题q为真命题时：$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$的解集为（$\frac{5}{2}-a，\frac{5}{2}+a$），不等式|x²-5|＜4的解集为：（-3，-1）∪（1，3）
由（$\frac{5}{2}-a，\frac{5}{2}+a$）⊆3，-1）∪（1，3）⇒0＜a≤$\frac{1}{2}$，
如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p、q为一真一假，列式计算；

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，命题$p：?n∈{N^*}，{（{-1}）^n}•（{2a+1}）＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$??n∈N⁺，（-1）ⁿ•2＜2+$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，当n为偶数时，2＜2-$\frac{1}{n}$不成立，故命题p为假命题．
当$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$时，⇒2＜x＜3⇒-1＜x²-5＜4⇒不等式|x²-5|＜4成立，故命题q为真命题．
（2）命题p为真命题时：当n为偶数时，2a+1＜2-$\frac{1}{n}$恒成立⇒2a+1＜（2-$\frac{1}{n}$）_min，⇒a＜$\frac{1}{4}$，
当n为奇数时，-（2a+1）＜2+$\frac{1}{n}$恒成立⇒-（2a+1）＜（2+$\frac{1}{n}$）_min，⇒-（2a+1）≤2⇒a≥-$\frac{3}{2}$．
故命题p为真命题时：-$\frac{3}{2}$≤a＜$\frac{1}{4}$．
命题q为真命题时：$|{x-\frac{5}{2}}|＜a（{a＞0}）$的解集为（$\frac{5}{2}-a，\frac{5}{2}+a$），不等式|x²-5|＜4的解集为：（-3，-1）∪（1，3）
由（$\frac{5}{2}-a，\frac{5}{2}+a$）⊆3，-1）∪（1，3）⇒0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故命题q为真命题时：0＜a≤$\frac{1}{2}$，
如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p、q为一真一假；
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤a＜\frac{1}{4}}\\{a≤0或a＞1}\end{array}\right.得-\frac{3}{2}≤a≤0$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-\frac{3}{2}或a≥\frac{1}{4}}\\{0＜a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.得\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$
综上实数a的取值范围：[-$\frac{3}{2}，0$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了命题真假的应用，涉及到了不等式、恒成立的运算，属于中档题．