Question

9．已知圆O：x²+y²=2，直线l过点$M（\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$，且OM⊥l，P（x₀，y₀）是直线l上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，N'是N关于x轴的对称点．
（1）求直线l的方程；
（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x₀的取值范围；
（3）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）OM⊥l，直线l上的斜率为-1，即可求直线l的方程；
（2）对每个给定的点P，当PQ为圆O的切线时，∠OPQ最大，此时OQ⊥PQ，即可求x₀的取值范围；
（3）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，求出A，B的坐标，即可证明直线AB的斜率为定值．

解答 解：（1）∵OM⊥l，∴直线l上的斜率为-1，
∴直线l上的方程为：$y-\frac{3}{2}=-（x-\frac{3}{2}）$，即x+y-3=0．
（2）如图可知，对每个给定的点P，当PQ为圆O的切线时，∠OPQ最大，此时OQ⊥PQ，
若此时∠OPQ=30°，则$|{OP}|=2|{OQ}|=2\sqrt{2}$，故只需$|{OP}|≤2\sqrt{2}$即可，即$x_0^2+y_0^2≤8$，
又x₀+y₀-3=0⇒y₀=3-x₀，代入得：$x_0^2+（3-x_0^2）≤8⇒2x_0^2-6{x_0}+1≤0⇒\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}≤{x_0}≤\frac{{3+\sqrt{7}}}{2}$．
（3）证明：据题意可求N（1，1），
∵N'是N关于x轴的对称点，∠ANN'=∠BNN'，∴k_AN=-k_BN，设k_AN=k，则k_BN=-k，
则直线AN的方程为：y-1=k（x-1），直线BN的方程为：y-1=-k（x-1），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1-k}\\{{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$，消去y得：（1+k²）x²+2k（1-k）x+k²-2k-1=0，
∵${x_A}{x_N}=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$，∴${x_A}=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$，同理可求${x_B}=\frac{{{k^2}+2k-1}}{{1+{k^2}}}$，${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-（{x_B}+{x_A}）+2k}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{4k}{3k}=1$，
故直线AB的斜率为定值1．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，难度大．