Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinB=$\sqrt{3}$bcosC，a²-c²=2b²
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为21$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinCsinB=$\sqrt{3}$sinBcosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC=$\sqrt{3}$，即可得解C的值．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a²+b²-c²=ab，又a²-c²=2b²，可得a=3b，利用三角形面积公式即可解得b的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵由已知及正弦定理可得，sinCsinB=$\sqrt{3}$sinBcosC，
∵sinB≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．  …（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²-c²=ab，
又∵a²-c²=2b²，
∴a=3b，
∴由题意可知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$b²=21$\sqrt{3}$，
∴b²=28，可得：b=2$\sqrt{7}$．  …（12分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．